De ce e greu Bacul din alte țări dacă România face „mai multă” matematică?

Conținutul teoretic al capitolelor de matematică din România este printre cele mai avansate din Europa și nu numai. Totuși, exercițiile nu sunt suficient de diverse, iar elevii ajung să reproducă soluții-model, cu limbaj standardizat. Reprezentările grafice și problemele cu text sunt două exemple pe care nu le găsești în bacul nostru. Consecința este că elevii nu-și antrenează imaginația, intuiția și, paradoxal, capacitatea de abstractizare — tocmai trăsătura atât de specifică lecțiilor noastre. 

Matematica e complicată, cu calcule lungi și formule de memorat, pe care le folosesc doar profesorii și cercetătorii. În fond, ai văzut vreodată în viața reală o funcție? O matrice? O prismă hexagonală regulată dreaptă?

Dacă te regăsești în nemulțumirile de mai sus, probabil nu ai înțeles (ori poate nu ți s-a explicat suficient de clar) că matematica este, în primul rând, un mod de gândire, un limbaj sau o unealtă. Sigur că mulți cercetători lucrează în matematică fără să se preocupe de aplicațiile ei, dar, dacă vorbim despre ce înveți în primii doisprezece ani de școală, lucrurile stau cu totul altfel.

La limbi străine, discuți și dezbați texte relevante generației tale. Istoria conține obligatoriu capitole despre istoria României și geopolitică, prin care să înțelegi mai bine lumea în care trăiești. Chimia și biologia îți arată substanțele și sistemele importante din corpul uman și din mediul înconjurător. De ce nu ar fi și matematica la fel? Cui folosește o lecție de matematică pe care să o simți ca pe o paranteză în programul tău zilnic, în care te întâlnești cu obiecte și concepte care trăiesc doar în lumea respectivă, doar una sau două ore pe zi, fără vreo legătură sau influență asupra înțelegerii lumii, dezvoltării și educației tale?

Am analizat manualele de matematică din România care au un conținut cu trei ani mai avansat decât în Franța și Germania. Am văzut că matematica este abstractă, predată pe repede înainte și evaluată șablonizat, inclusiv la bacalaureat, cu multe exerciții și probleme care cer „să se calculeze…”, „(să) fie…” sau în care „se consideră…”. Una dintre consecințe este impresia tot mai răspândită că matematica nu are nicio legătură cu viața reală, nimic dincolo de tabla înmulțirii sau alte calcule pentru care oricum ai atâtea computere la birou, în buzunar sau la încheietura mâinii.

Vreau să-ți arăt că o astfel de gândire ratează, în esență, rolul matematicii în educație, indiferent de specializarea pe care o vei urma. Mă opresc la două tipuri de probleme: vizualizarea și conceptualizarea.

Îți propun câteva exerciții de nivel bacalaureat din mai multe sisteme de educație: cel american (SAT), cel britanic (International Baccalaureate, IB), cel german (Abitur) și cel francez. Dar fundamentul discuției nu este neapărat structura bacului. Pornesc de la premisa că evaluarea de la finalul liceului este un fel de concluzie, de rezumat al studiilor, așa că putem face un fel de inginerie inversă: ne uităm la evaluarea finală ca să deducem cum ar fi trebuit să arate educația pe parcurs, ca să te pregătească pentru ea.

Soluția care se vede

Matematica școlară românească este profund algebrizată și axiomatizată, iar conceptele noi sunt introduse preponderent deductiv. În cuvinte simple, asta înseamnă că dăm prioritate calculelor, formulelor și definițiilor memorate, încât ideea de „încercare”, „experiment” sau chiar pretențiosul brainstorming lipsesc în totalitate. Profesorul, susținut de manual, prezintă lecția cu autoritate aproape dogmatică, iar elevii o învață și rezolvă exerciții după model.

Problematizarea lipsește, trecem la o lecție nouă pentru că asta urmează în manual sau programă și nu rezolvăm exercițiile așa pentru că nu e în barem.

Una dintre temele care expun cel mai clar această deficiență este analiza matematică. Studiată în ultimii doi ani de liceu, este baza științelor naturii, fiindcă introduce uneltele cu care înțelegi schimbarea și evoluția. Aici apare conceptul de limită și „definiția infinitului”, tocmai pentru caracterizarea unor tendințe, a unui potențial. Manualul de clasa a unsprezecea se încheie corespunzător cu un capitol despre evoluția unei funcții, până la reprezentarea ei grafică.

Teoretic, planul sună bine. Însă practic, problema începe mult mai devreme. Încă din clasa a noua, conceptul de funcție este introdus abstract, opac. Mulți elevi nu înțeleg intuitiv că o funcție este o simplă relație dintre „date de intrare” și „date de ieșire”, primele procesate după o regulă clară. Modelul funcțiilor, din manualul de clasa a noua, este cu diagrame și săgeți, dar reprezentarea grafică le este, adesea, străină.

Dacă au avut norocul să studieze în gimnaziu reprezentarea grafică a funcțiilor de gradul întâi, probabil au făcut-o prin tabele de valori (sau „ieșiri” corespunzătoare „intrărilor”), pe care apoi le-au marcat prin puncte într-un sistem de coordonate și le-au unit. Însă rareori un astfel de exercițiu este și discutat, dincolo de algoritm. Linia care unește punctele de pe desen este trasată automat, încât informația că ea reprezintă o întreagă evoluție lipsește.

Nu e de mirare, atunci, că în clasa a unsprezecea, unde elevii ar trebui să învețe reprezentarea grafică a oricăror funcții, lecția se termină înainte de această reprezentare propriu-zisă. Baremul de bacalaureat, de exemplu, nu punctează informațiile extrase din grafic — căci „desenele” sunt considerate subiective —, astfel că soluția recomandată este, previzibil, cea algebrică, computațională, lipsită de intuiție, imaginație și componentă vizuală.

În consecință, mulți elevi nu pot extrage aproape nicio informație dintr-o reprezentare grafică, pentru că nu au învățat să lucreze cu ea. De la simpla parabolă asociată unei funcții de gradul al doilea (studiată încă din clasa a opta) și până la curbe precum cercul sau exponențiala, elevii nu doar că nu pot face legătura între forma algebrică („formula”) și imaginea grafică, dar, dat direct graficul, nu-l pot caracteriza, calitativ (de exemplu, să vadă prezența asimptotelor, a punctelor de maxim sau de minim, a intervalelor de monotonie ș.a.m.d.).

Lucrul acesta este în contrast puternic cu abordarea altor țări. Toate cele patru sisteme pe care le-am luat în discuție (SUA, Marea Britanie, Germania, Franța) propun exerciții la bac structurate exact invers față de România: aproape lipsesc calculele, iar soluția așteptată este pur intuitivă, grafică.

Iată, de exemplu, un exercițiu dintr-un set din International Baccalaureate, care se bazează pe o reprezentare grafică a unei funcții pentru care nici măcar nu se știe „formula”.

Similar, în bacalaureatul german, un exercițiu combină calculul cu reprezentarea grafică, astfel încât elevul să coreleze cele două informații. Dată o funcție f, se cere identificarea reprezentării grafice a primitivei sale dintre cele două variante.

Iar într-un test SAT, pornești cu o reprezentare grafică a unei funcții de gradul al doilea (o parabolă), din care trebuie să extragi informații algebrice.

Prin comparație, ultimul exercițiu din simularea de bacalaureat din România cere, la primele două subpuncte, calcule, iar la cel de-al treilea (care a pus cele mai mari probleme elevilor), se adaugă o informație care ar fi trebuit să ofere indicii dacă elevii ar fi înțeles-o vizual. Însă, cum spuneam, reprezentarea grafică pur și simplu nu intră în baremul de notare și, deci, nici în paletarul elevilor.

Problema în cuvinte

Dificultatea cu care extrag informații și idei pe baza reprezentării grafice este și un simptom al disjuncției dintre conceptele de tip matematic și limbajul și experiențele comune.

Fizicianul Patrick Joshua Biro remarca, într-un articol pe Școala9, că elevii au nevoie de o alfabetizare științifică specifică. Aș completa această observație cu ideea că lipsește inclusiv înțelegerea noțiunilor comune atunci când apar în context științific sau matematic. Altfel spus, elevii pot fi alfabetizați, pot înțelege sensurile cuvintelor în limbaj comun, însă nu le pot transpune într-o problemă de matematică sau nu le pot corela înțelesurile colocviale cu cele tehnice.

În contextul exercițiilor de bacalaureat, fractura este evidentă și întreținută de structura abstractă a testului din România. Limbajul impersonal, cu cuvinte-cheie care nu lasă loc de interpretări și fără niciun fel de context sunt elemente specifice evaluărilor din țara noastră. O funcție nu caracterizează niciodată un fenomen natural, iar o ecuație „se dă” direct, nu se construiește treptat și are drept necunoscută mereu pe x, niciodată un preț, o distanță sau un volum.

Devine explicabil, atunci, faptul că elevii nu înțeleg cum se aplică un concept matematic în realitate — cele două contexte sunt pur și simplu separate.

Numai că toate aplicațiile matematicii folosesc conceptele abstracte în exemple și fenomene concrete. Dacă nu vei vedea „cu ochiul liber” o funcție sau un logaritm, nu înseamnă că nu le folosești indirect atunci când lucrezi, de exemplu, la un proiect de inginerie aerospațială.

Tocmai de aceea este inexplicabil cum de exercițiile din România sunt, aproape toate, lipsite de interpretări sau context practic. Rezultatul este că elevii nu învață să conceptualizeze, să modeleze și, culmea, să abstractizeze.

Iată, de exemplu, cum arată un exercițiu de analiză matematică din simularea de bacalaureat din martie.

Prin comparație, bacalaureatul francez formulează așa un exercițiu similar.

Substratul matematic este foarte asemănător: studiul unei funcții cu ajutorul derivatei sale. Dar contextul diferă semnificativ: problema din franceză are „substanță”, chiar importanță practică.

Asemănător și mult mai ușor (din punctul de vedere al conținutului matematic) este acest exercițiu, preluat din SAT 2025.

În bacul din țara noastră, funcțiile de gradul întâi apar în subiectul I (materia de clasa a noua și a zecea), de obicei sub forma unor ecuații sau calcule seci.

Cred, deci, că se deduc multe dintre problemele pe care le au elevii români cu matematica în general și cu abstractul sau alfabetizarea științifică în particular chiar și numai din câteva exemple. Nu neg faptul că matematica este un domeniu de specialitate, așa că are propriile convenții, reguli interne și vocabular specific. 

Însă lecțiile școlare, mai ales cele din preuniversitar, nu cred că ar pierde din calitate dacă ar mai relaxa nivelul rigorii în favoarea aplicațiilor, interpretărilor, discuțiilor, cu tot cu greșeli și dezbateri.

Când matematica trezește în mintea elevului doar imagini cu calcule, formule și proceduri aproape automate de rezolvare a exercițiilor, memoria se suprasolicită și înțelegerea suferă. Să nu poți extrage informații matematice, abstracte, dintr-o problemă formulată concret e o deficiență la fel de mare ca atunci când nu poți extrage ideile principale dintr-un text. Adaugă la asta și antrenamentul pe axiome, deducții și calcul algebric, fără ajutorul intuiției sau a reprezentărilor grafice și poți trece la capitolul „deficiențe” și imaginația și comunicarea vizuală.

Dacă ai curiozitate, am făcut o selecție de zece exerciții extrase din examenele de bacalaureat de tip SAT, IB, Abitur și bacalaureatul francez, care ating cu prioritate aceste probleme: vizualizarea cu ajutorul reprezentărilor grafice și modelarea prin așa-numitele „probleme cu text” (word problems). Le-am tradus în română, dar am încercat să păstrez specificul original. Conținutul matematic este acoperit și în programa din România, deci teoria sigur o găsești în manualele noastre. Principala noutate este modul de prezentare a problemelor.

Dacă vrei să le încerci, le poți descărca de aici și aștept un email la adrianmanea@poligon-edu.ro în care să-mi spui cum ți s-au părut.