Matematica zarurilor sau cum pierzi și când ești sigur de câștig

Patru profesori, de matematică, română, istorie și psihologie îți povestesc în această serie cum ar duce ei tema păcănelelor la disciplinele lor sau la ora de dirigenție. Primul episod este despre matematică. Săptămânal, lunea, le vezi găsi aici și pe următoarele. Așteptăm și ideile voastre, pe scoala9@fundatia9.ro.  Școala9 a urmărit subiectul jocurilor de noroc și influența lor asupra tinerilor și puteți citi articolele aici. 

Aștepți autobuzul 649 în stație, dar nimeni nu-i știe programul. Stai de 59 minute, timp în care au venit două tramvaie și trei autobuze, dar nu și cel pe care îl aștepți. Au mai rămas câteva persoane pe bancă, lângă tine. Sunteți cu toții convinși că „trebuie să apară”, doar că nu știți când.

Te uiți la ceas, s-au făcut 99 minute, îți vine să pleci. Care ar fi probabilitatea să vină în minutul 100? Doar, cu cât aștepți mai mult, cu atât cresc șansele să vină în secunda următoare, nu?

Dar faptul că nu știi programul autobuzului înseamnă că nu-i știi probabilitatea reală să vină în minutul acela. Dacă ai ști-o, poate n-ai mai aștepta.

Acesta este exemplul pe care îl dau mereu când vine vorba despre teoria probabilităților și statistică. Dincolo de faptul că problema nu se poate rezolva dacă nu știi programul autobuzului, ea mai conține un amănunt important. Matematica nu ține cont de emoție, dorințe, rugăciuni și rugăminți. Oricât de mult ți-ai dori să vină autobuzul după 99 minute, oricât de tare te-ai enerva, împreună cu ceilalți călători care îl așteaptă în stație, nimic nu-i poate schimba distribuția de probabilitate și, deci, șansele matematice să vină în minutul 100.

Problema autobuzului se transpune ușor în discuția jocurilor de noroc și a matematicii implicate. Și acolo, emoțiile sunt mari, căci miza este semnificativă. De cele mai multe ori, sunt banii tăi în joc și, din păcate, suma nu este mai niciodată mică. Și acolo, vezi cum alții par să câștige și mai încerci încă o dată și încă o dată, că doar, după 99 eșecuri, încercarea cu numărul 100 trebuie să te scoată câștigător, nu? Dar, la fel cum nu știi programul autobuzului, nici într-un cazino nu știi probabilitatea matematică de câștig. Ți-o spun cu siguranță, pentru că, dacă ai ști-o, n-ai mai avea niciun motiv rațional să joci.

Zarurile au fost aruncate de mii de ani

Problema jocurilor de noroc e, practic, dintotdeauna. Înainte să existe cazinourile, au existat jocurile cu zaruri, cu cărți, cu monede, cu bile ascunse sub niște pahare care se tot amestecă și multe altele. Cu mult înainte de Las Vegas a fost Imperiul Roman, iar înaintea lor, egiptenii și babilonienii. Cu toții au fost împătimiți ai jocurilor de noroc și în fiecare societate, inclusiv în cele antice, vocile rațiunii de tip matematic sau ale responsabilității civile au încercat să le împiedice.

Cuvântul nostru „zar” e același cu al turcilor, care, la rândul lor, l-au moștenit de la arabi. Înainte să aibă forma cubică pe care o știi, zarurile erau făcute din oase, dar se folosea zona din apropierea încheieturilor, astfel încât osul să fie mai mare și să aibă o formă cât de cât poliedrică.

Până la jocurile de noroc, zarurile antichității se foloseau în ritualuri magice și prezicerea viitorului. Apoi, odată cu apariția Imperiului Roman, zarurile au intrat și mai mult în cultura universală. Cuvântul „aleatoriu”, de exemplu, specific probabilităților, șansei sau norocului provine din latină, unde alea înseamnă zar (ca obiect sau ca joc în care folosești acest obiect), sau, mai general, riscul, șansa.

Jocurile de noroc au fost și, într-un fel, continuă să fie un fel de „artă ocultă”, asemănătoare alchimiei, dar și o problemă socială gravă. Pe de o parte, ele se bazează pe principii matematice solide și nu puține sunt descoperirile din domeniul teoriei probabilităților care au ajutat la rezolvarea unor probleme complexe.

În secolul XVI, Girolamo Cardano, un geniu al Renașterii de numele căruia se leagă rezultate de algebră, geometrie, dar și inginerie (mașinile și utilajele conțin un arbore cardanic — o structură care ajută la transmisie), a fost un împătimit al jocurilor de noroc. În 1564, el publică Liber de ludo aleae (Cartea jocurilor de noroc), în care pune bazele teoriei probabilităților dezvoltată până astăzi. Însă Cardano a scris-o ca să-și explice sieși cât mai bine cum funcționează „norocul”, convins că poate să-și maximizeze șansele de câștig. Ba chiar a inclus și câteva metode de a trișa în jocuri de cărți sau cu zaruri.

Din păcate, dependența pe care o generează toate jocurile de noroc, precum și iluzia câștigului au fost și continuă să fie chestiuni de viață și de moarte. Similar alchimiei, „înțelepții” au impresia că sunt în pragul unei descoperiri fundamentale, că pot să păcălească natura (sau matematica), că au înțeles principii care nu sunt la îndemâna oricui cu care, în sfârșit, vor atinge rezultatul dorit: aurul, respectiv câștigul colosal.

Numai că realitatea i-a contrazis fără rest. Principiile de fizică și chimie, respectiv axiomele și teoremele matematicii pur și simplu fac imposibil rezultatul dorit.

Puțină matematică a șansei

Hai să-ți arăt câteva exemple, să înțelegi mai bine de ce spun că orice câștig la jocuri de noroc este o iluzie.

Probabilitatea unui eveniment se calculează prin împărțirea numărului de cazuri favorabile (cele în care câștigi) la numărul de cazuri totale (cele în care câștigi + cele în care pierzi). Acestea sunt numerele pe care trebuie să le știi, dar asta nu înseamnă că sunt ușor de calculat și, cu atât mai puțin, că au valori intuitive, cum o să-ți arăt imediat.

Încep cu cel mai simplu exemplu, ca să vezi cât de mult pot scădea șansele de câștig când ai mai multe variabile. Gândește-te la un joc de zaruri. Sunt 6 fețe posibile, deci șansa de a obține, să zicem, fața 3 la o aruncare este de 1/6, adică aproximativ 17%. Dacă arunci din nou și vrei și a doua oară să-ți pice 3, șansa este tot de 1/6, numai că matematica te obligă să înmulțești cele două probabilități. Așa că, dacă vrei să nimerești fața 3 de două ori la rând, probabilitatea este de 1/36, adică aproape 2,8%.

Această situație, care în matematică se numește probabilitatea evenimentelor independente arată de ce este mult mai greu să reușești același lucru de două ori la rând. Când jocurile de noroc se bazează pe reușite consecutive (așa-numitele streak-uri), șansele devin aproape zero incredibil de repede.

Un alt exemplu popular din sălile de jocuri de peste tot sunt așa-numitele slot machines, pe care noi le-am numit „păcănele”. Ele îți prezintă trei, patru, cinci sau mai multe seturi de obiecte care se rotesc și câștigi când se afișează cel puțin trei obiecte identice (celebrul 777, de exemplu). Dar exemplul cu zarurile ți-a arătat că șansele sunt cu atât mai mici cu cât ai mai multe „sloturi”, adică seturi de obiecte. La fel, șansele se micșorează cu cât pe același slot ai mai multe obiecte diferite. Pentru 5 sloturi care au numerele de la 1 la 10 fiecare, să spunem, șansele de a nimeri cel puțin 3 numere egale (oricare) la o rotire sunt de 8%. Dar dacă vrei jackpot-ul, adică toate cele 5 numere să fie la fel, șansele sunt de 1 la 10.000.

Să-ți mai arăt un caz faimos: loteria. În România, unul dintre cele mai populare formate este „6 din 49”, adică alegi 6 numere dintr-un total de 49 și premiile încep să se acorde când ghicești cel puțin 3 numere extrase. Nu intru în detalii matematice, dar probabilitatea să ghicești un singur număr este de aproximativ 41%, deci chiar și pentru asta ai șanse mai degrabă să nu nimerești. Mai departe, probabilitatea să-l ghicești și pe al doilea este de 13%, dar nici asta nu-ți aduce vreun câștig. Abia de la 3 numere începe să conteze, dar deja acolo probabilitatea este de 1,76%. Pentru patru: sub 1 la 1000, pentru cinci: sub 2 la 50.000, iar pentru marele premiu, ai o șansă din aproape 14 miliarde!

Sigur că astfel de calcule arată că este, totuși, posibil. Până la urmă, de ce n-ai fi chiar tu acel unu din 14 miliarde? Și, dacă joci mai multe bilete, îți mărești șansele, corect? Matematica spune „da”, însă câte lucruri ai fi dispus să încerci, știind că ai o șansă din 14 miliarde de reușită?

Organizatorul jocului („casa”, în termeni specifici) câștigă de fiecare dată. Pentru fiecare un câștigător, există aproape 14 miliarde de pierzători, deci „casa” câștigă în toate celelalte situații. Întreabă-te acum cât de mult ai fi dispus să riști sau să investești dacă ai ști că șansele de pierdere sunt una la 14 miliarde și vei înțelege de ce toate reclamele la cazinouri și jocuri de noroc nu au nicio jenă să învârtă sume uriașe de bani în câștiguri posibile.

Și mai e ceva, dincolo de matematică: factorul psihologic, pe care toate jocurile de noroc îl exploatează. De exemplu, în cazul sloturilor, șansa să nimerești cel puțin 3 simboluri la fel din 5 nu e extraordinar de mică. Tocmai acest lucru este folosit în design-ul jocului. Vei primi o recompensă care te va motiva să reîncerci. Aparatul nu are memorie, deci la a doua încercare, șansele sunt tot de 8%, adică pentru orice 8 câștigători, 92 de jucători pierd. Iar pentru jackpot, pentru orice 1 câștigător, 99.999 de jucători pierd.

Poți să-ți spui că mereu vei fi tu acel unul din oricât de mulți care câștigă, poți să te crezi norocos, să ai superstiții, ritualuri sau obiecte norocoase, dar îți mai dau un ultim exemplu care să-ți arate că și o astfel de judecată este, de cele mai multe ori, greșită.

Pe o pungă de chipsuri scrie „Una din trei șanse de câștig! Caută în pachet și poți să pleci la mare pe banii noștri!”. Cumperi trei pungi. Ba nu, cumperi șase, fiindcă vrei să mergi împreună cu persoana iubită. Dacă una din trei este câștigătoare, asta înseamnă și două din șase: matematică de clasa a treia.

Ajungi acasă, răstorni conținutul pungilor într-un castron și scotocești după biletele câștigătoare. Doar că nu găsești nici măcar unul! Cum se poate? Reclamă falsă, sesizezi ANPC-ul? Nu te grăbi.

Tocmai acea matematică pe care ai folosit-o ca să ajungi la concluzia că „una din trei” înseamnă și „două din șase” îți arată că tot „una din trei” înseamnă și „1000 din 3000”. Dacă producătorul ar fi pus pe piață doar 3 sau 6 pungi de chipsuri, adică cele pe care le-ai cumpărat tu, atunci cu siguranță câștigai. Dar, cum producția probabil se măsoară în sute de mii, dacă nu milioane de pungi, „una din trei” e o simplă exprimare (rău-intenționată, e drept, dar nu mincinoasă) pentru 33%. Sau 330 la mie. Sau 330.000 dintr-un milion. Deci pe piață sunt cel puțin 670.000 de pungi necâștigătoare din care ai fi putut să cumperi.

Așa că șansa de câștig, exprimată procentual, este simultan precisă matematic și înșelătoare psihologic: 50% nu înseamnă mereu că, dacă încerci de două ori, sigur câștigi o dată. Înseamnă că, din totalul posibilităților, jumătate sunt câștigătoare. Tocmai de aceea, multe jocuri se bazează pe un număr imens de posibilități, dar îți prezintă șansele de câștig într-o formă atrăgătoare. Înșelătoare, dar nu mincinoasă. Adaugă la asta și factorul uman (dealer-ul de cărți, programatorul păcănelelor sau cel care dă cu zarurile), despre corectitudinea cărora mi-ar fi imposibil să scriu, dar chiar și în situații perfecte de matematică, șansele nu arată bine.

Singurul câștigător al oricărui joc de noroc este „casa”: un adevăr simultan matematic, psihologic și economic. Iar când pierzi tu, îți pierzi nu doar banii, ci și familia, încrederea și, într-un fel, locul în societate.